CONTOH SISTEM LINIER

Contoh 1.3.2

     Tinjau system waktu diskret seperti yang dalam Gambar 1.3.1. Diagram bloknya mengandung elemen unit tunda, pengali bernilai 0,5, dan penjumlah. Elemen tunda adalah peralatan yang menyimpan nilai sebelumnya yang dikenakan pada system, dalam hal ini adalah nilai sebelummnya dari masukan. Persamaan untuk keluaran adalah

                                                                      

 

                          Gambar 1.3.1. Diagarm blok untuk contoh 1.3.2.

Apakah system ini memenuhi sifat superposisi ? Masukan u¹ menghasilkan keluaran

y1 (k) = 0,5 u1 (k) + u1 (k-1)

Masukan u² menghasilkan keluaran

 y2 (k) =  0,5 u2 (k) + u2 (k-1)                       

Masukan (au¹+ bu²) menghasilkan keluaran

Y(k) = 0,5[au^{1(k) +} bu²(k)] + [au¹(k-1) + bu²(k-1)]

        = 0,5au¹(k) + au¹(k-1) + 0,5bu²(k) + bu²(k-1)

        = ay¹(k) + by²(k)

Jadi system waktu diskret ini linier.

Contoh1.3.3.

     Jaringan RC sederhana yang diperlihatkan dalam gamabr 1.3.2. mempunyai masukan arus I(t) dan keluaran tegangan e(t). Apakah transformasi I(t) ke e(t) ini menyatakan sebuah sitem linier ? Kita andaikan energi awal yang dikandung adalah nol, yakni tidak ada muatan pada kapasitor. Dengan menggunakan Hukum Kirchoff tegangan, kita tulis :

                                                                           

Sekali lagi kita gunakan superposisi untuk membuktikan kelinieran. Andaikan kita gunakan dua masukan terpisah i₁(t) dan i₂(t). Keluarannya  adalah

Gambar Jaringan RC untuk Contoh 1.3.3

Ini menyatakan suatu system linier. Perhatikan bahwa pada contoh ini kita mengandaikan tegangan awal pada kapasitor adalah nol. Andaikan ada tegangan awal pada kapasitor. Andaikan tanda dari tegangan awal ini merupakan suatu penurunan tegangan menurut arah perputaran jarum jam. Persamaan Kirchoff tegangannya sekarang adalah

                

Contoh : Jika sistem sistem didiskripsikan dengan persamaan masukan- keluaran sebagai berikut, tentukan apakah sistem linier atau non-linier.

(a) y(t) = t x(t)                         (b) y(t) = x²(t)                          (c) y(t) = Ax(t) + B

(d) y(t) = 5 x” + 7 x’ + 3x

Jawab :

(a)  Untuk dua deret masukan x₁(t) dan x₂(t) keluaran yang sesuai adalah :

                                   

                                                y₁(t)  =  t x₁(t)

                                                                                                                                 

y₂(t)  =  t x₂(t)

Kombinasi linier dari kedua deret masukan menghasilkan keluaran :

                        y₃(t) = G[a₁x₁(t) + a₂x₂(t)] = t[a₁x₁(t) + a₂x₂(t)]

                                 = a₁ tx₁(t) + a₂ tx₂(t)                                                                  

Sebaliknya, kombinasi linier dari kedua keluaran dalam (1.4) menghasilkan keluaran :

                        ay₁(t) +  ay₂(t)  =    a₁ tx₁(t) + a₂ tx₂(t)                                                           

Karena ruas kanan dari persamaan (1.5) dan (1.6) identik , maka sistem tersebut linier

(b) seperti pada bagian (a) kita dapatkan respons sistem terhadap dua sinyal masukan secara terpisah x₁(t) dan x₂(t), hasilnya adalah :

                                                y₁(t)  =  x₁²(t)

                                                                                                                                   

y₂(t)  =   x₂²(t)

keluaran sistem terhadap kombinasi linier x₁(t) dan x₂(t) adalah : 

y₃(t) = G[a₁x₁(t) + a₂x₂(t)] = [a₁x₁(t) + a₂x₂(t)]²

                                = a₁²x₁²(t) + 2a₁a₂x₁(t)x₂(t) + a₂²x₂²(t)                                     

Sebaliknya, kombinasi linier dari kedua keluaran dalam (1.7) menghasilkan keluaran :

                        ay₁(t) +  ay₂(t)  =    a₁ x₁²(t) + a₂ x₂²(t)                                                         

Karena ruas kanan dari persamaan (1.8) dan (1.9) tidak sama , maka sistem tersebut non-linier