Jurusan Elektro Universitas Panca Marga: 2014

Jumat, 07 November 2014

MEMBUAT VISUALISASI MATERI PENGENALAN SISTEM LINIER MENGGUNAKAN BAHASA HTML

<html>
<head>
<title>Sistem Linier</title>
</head>
<body>
<table border="1" bgcolor="black"
cellpadding="5" cellspacing="0" >
<tr bgcolor=black>
<th><h2><font color="white"><font face="arial black"><BR>Pengenalan Sistem Linier</h2></th>
<th><h2><img width="150" height="150" src="logo jj.png">
<font color="white"><font face="arial black"><BR>Fakultas Teknik
Jurusan Teknik Elektro Universitas Panca Marga Probolinggo</h2></th>

</tr>
<tr bgcolor="grey">
<td>
<a href="Apa Itu Linier.html"><font color="white"><font face="arial black"><BR><h4>Apa Itu Linier?</h4></a>
<a href="Konsep Dasar LInier.html"><font color="white"><font face="arial black"><BR><h4>Konsep Dasar Linier</h4></a>
<a href="Sistem Linier VS Non Linier.html"><font color="white"><font face="arial black"><BR><h4>Sistem Linier VS Non Linier</h4></a>
<a href="Contoh Sistem Linier.html"><font color="white"><font face="arial black"><BR><h4>Contoh Sistem Linier</h4></a>

</td>
<td>
<center><h1>Apa Itu Linier?</h1></center>
<img widhth="300" height="300" src="Matematika.gif">
<img width="200" height="300" src="sistem persamaan linier.png">
<img widhth="200px" height="300px" src="pola pikir.jpg">
<img widhth="200" height="300" src="hal11.jpg"<br><br><br><br><br><br>

<center>Oleh</center>
<center><h2><font color="white"><font face="arial black"><BR>RIRIN INDRIATI</h2><center>
<center><h2><font color="white"><font face="arial black"><BR>(13.543.0130)</h2><center>
<marquee><h3>Copyleft @ Sistem Linier 2014</h3></marquee>
<center><h4>KUNJUNGI PULA</h4><center>
<a href="http://ririnbelajarlinier.blogspot.com/2014/09/analisa-sinyal.html">http://ririnbelajarlinier.blogspot.com</a>
</td>
</tr>

</table>
</body>
</html>

HASILNYA

CONTOH SISTEM LINIER

Contoh 1.3.2

Tinjau system waktu diskret seperti yang dalam Gambar 1.3.1. Diagram bloknya mengandung elemen unit tunda, pengali bernilai 0,5, dan penjumlah. Elemen tunda adalah peralatan yang menyimpan nilai sebelumnya yang dikenakan pada system, dalam hal ini adalah nilai sebelummnya dari masukan. Persamaan untuk keluaran adalah

Gambar 1.3.1. Diagarm blok untuk contoh 1.3.2.

Apakah system ini memenuhi sifat superposisi ? Masukan u¹ menghasilkan keluaran

y1 (k) = 0,5 u1 (k) + u1 (k-1)

Masukan u² menghasilkan keluaran

y2 (k) = 0,5 u2 (k) + u2 (k-1)

Masukan (au¹+ bu²) menghasilkan keluaran

Y(k) = 0,5[au^{1(k) +}bu²(k)] + [au¹(k-1) + bu²(k-1)]

= 0,5au¹(k) + au¹(k-1) + 0,5bu²(k) + bu²(k-1)

= ay¹(k) + by²(k)

Jadi system waktu diskret ini linier.

Contoh1.3.3.

Jaringan RC sederhana yang diperlihatkan dalam gamabr 1.3.2. mempunyai masukan arus I(t) dan keluaran tegangan e(t). Apakah transformasi I(t) ke e(t) ini menyatakan sebuah sitem linier ? Kita andaikan energi awal yang dikandung adalah nol, yakni tidak ada muatan pada kapasitor. Dengan menggunakan Hukum Kirchoff tegangan, kita tulis :

Sekali lagi kita gunakan superposisi untuk membuktikan kelinieran. Andaikan kita gunakan dua masukan terpisah i₁(t) dan i₂(t). Keluarannya adalah

Gambar Jaringan RC untuk Contoh 1.3.3

Ini menyatakan suatu system linier. Perhatikan bahwa pada contoh ini kita mengandaikan tegangan awal pada kapasitor adalah nol. Andaikan ada tegangan awal pada kapasitor. Andaikan tanda dari tegangan awal ini merupakan suatu penurunan tegangan menurut arah perputaran jarum jam. Persamaan Kirchoff tegangannya sekarang adalah

Contoh : Jika sistem sistem didiskripsikan dengan persamaan masukan- keluaran sebagai berikut, tentukan apakah sistem linier atau non-linier.

(a) y(t) = t x(t) (b) y(t) = x²(t) (c) y(t) = Ax(t) + B

(d) y(t) = 5 x” + 7 x’ + 3x

Jawab :

(a) Untuk dua deret masukan x₁(t) dan x₂(t) keluaran yang sesuai adalah :

y₁(t) = t x₁(t)

y₂(t) = t x₂(t)

Kombinasi linier dari kedua deret masukan menghasilkan keluaran :

y₃(t) = G[a₁x₁(t) + a₂x₂(t)] = t[a₁x₁(t) + a₂x₂(t)]

= a₁tx₁(t) + a₂tx₂(t)

Sebaliknya, kombinasi linier dari kedua keluaran dalam (1.4) menghasilkan keluaran :

ay₁(t) + ay₂(t) = a₁tx₁(t) + a₂tx₂(t)

Karena ruas kanan dari persamaan (1.5) dan (1.6) identik , maka sistem tersebut linier

(b) seperti pada bagian (a) kita dapatkan respons sistem terhadap dua sinyal masukan secara terpisah x₁(t) dan x₂(t), hasilnya adalah :

y₁(t) = x₁²(t)

y₂(t) = x₂²(t)

keluaran sistem terhadap kombinasi linier x₁(t) dan x₂(t) adalah :

y₃(t) = G[a₁x₁(t) + a₂x₂(t)] = [a₁x₁(t) + a₂x₂(t)]²

= a₁²x₁²(t) + 2a₁a₂x₁(t)x₂(t) + a₂²x₂²(t)

Sebaliknya, kombinasi linier dari kedua keluaran dalam (1.7) menghasilkan keluaran :

ay₁(t) + ay₂(t) = a₁x₁²(t) + a₂x₂²(t)

Karena ruas kanan dari persamaan (1.8) dan (1.9) tidak sama , maka sistem tersebut non-linier

SISTEM LINIER DAN NON LINIER

Apa bedanya sistem linear dan sistem non-linear? Sistem linear merupakan suatu sistem yang sifatnya memiliki suatu “ketetapan” atau bisa dibilang sebagai sistem yang fixed. Sistem yang seperti itu dapat digambarkan sebagai bagan berikut ini.

Dalam bagan tersebut dapat diamati bahwa setiap input dalam sebuah proses tersebut memiliki output masing-masing sesuai dengan macam input yang ada dalam suatu proses. Sistem ini memiliki sifat yang fixed. Sistem ini tidak memiliki tingkat ke-sensitivitas-an yang rendah. Kita dapat memodelkan sistem linear seperti ini hanya dengan pemrograman konvensional biasa.

Sistem non-linear merupakan suatu sistem yang sifatnya tidak tetap, mudah berubah, sulit dikontrol, dan sulit diprediksi. Sistem semacam ini memiliki tingkat ke-sensitivitas-an yang sangat tinggi. Sistem non-linear ini dapat digambarkan seperti kedua bagan berikut ini.

Dalam kedua bagan tersebut dapat diamati 2 hal, yaitu yang pertama, bahwa input-input yang berlainan dalam suatu proses dapat menghasilkan output yang sama, dan yang kedua, bahwa satu input yang ada dalam suatu proses dapat memberikan output yang sama. Di sinilah letak ke-sensitif-an sistem. Sistem non-linear seperti ini dapat dimodelkan dengan non-linear programming, seperti jaringan saraf tiruan atau kecerdasan buatan.

Sistem linier adalah sistem yang memenuhi hukum superposisi. Prinsip superposisi adalah respons sistem (keluaran) terhadap jumlah bobot sinyal akan sama dengan jumlah bobot yang sesuai dari respon (keluaran) sistem terhadap masing-masing sinyal masukan individual. Karena itu linieritas dapat didefinisikan sebagai berikut.

Teorema : Sistem adalah linier jika dan hanya jika

G[a₁x₁(t) + a₂x₂(t)] = a₁G[x₁(t)] + a₂ G[x₂(t)]

untuk setiap deret masukan x₁(t) dan x₂(t) yang berubah-ubah dan setiap konstanta a₁dan a₂yang berubah-ubah.

Gambar 1.2 dibawah ini memberikan ilustrasi dari superposisi

Gambar Tampilan Grafis Prinsip Superposisi, G linier jika dan hanya jika y(t) = y’(t)

Sistem yang tidak memenuhi prinsip superposisi seperti diberikan pada definisi diatas, dinamakan sistem nol-linier.

Jenis Persamaan

Persamaan masing-masing mendapat bentuk yang didasarkan pada tingkat tertinggi, atau eksponen, variabel. Misalnya, dalam kasus di mana y = x ³ – 6x + 2, tingkat 3 persamaan ini memberikan nama ” . Kubik” Setiap persamaan yang memiliki gelar tidak lebih tinggi dari 1 menerima nama ” linear.” Jika tidak, kita sebut persamaan ” nonlinier,” apakah itu kuadrat, sinus-kurva atau dalam bentuk lainnya.

Hubungan Input-Output

Secara umum, ” x” dianggap menjadi masukan dari sebuah persamaan dan ” y” dianggap output. Dalam kasus persamaan linier, setiap peningkatan dalam ” x” baik akan menyebabkan peningkatan ” y” atau penurunan ” y” sesuai dengan nilai lereng. Sebaliknya, dalam persamaan nonlinier, ” x” mungkin tidak selalu menyebabkan ” y” untuk meningkatkan. Sebagai contoh, jika y = (5 – x) ², ” y” penurunan nilai sebagai ” x” pendekatan 5, tetapi meningkat sebaliknya.

Grafik Perbedaan

Sebuah grafik menampilkan set solusi untuk persamaan yang diberikan. Dalam kasus persamaan linear, grafik akan selalu garis. Sebaliknya, persamaan nonlinear mungkin terlihat seperti sebuah parabola jika derajat 2, x bentuk-melengkung jika derajat 3, atau variasi daripadanya melengkung. Sementara persamaan linear selalu lurus, persamaan nonlinier sering menampilkan kurva.

Pengecualian

Kecuali untuk kasus garis vertikal (x = konstanta) dan garis horizontal (y = konstan), persamaan linear akan ada untuk semua nilai ” x” dan ” y.” Persamaan nonlinier, di sisi lain, mungkin tidak memiliki solusi untuk nilai-nilai tertentu dari ” x” atau ” y.” Misalnya, jika y = sqrt (x), maka ” x” ada hanya dari 0 dan seterusnya, seperti halnya ” y,” karena akar kuadrat dari angka negatif tidak ada dalam sistem bilangan real dan tidak ada akar kuadrat yang menghasilkan output negatif.

Manfaat

Hubungan linier dapat dijelaskan dengan baik oleh persamaan linear, di mana peningkatan satu variabel secara langsung menyebabkan kenaikan atau penurunan yang lain. Misalnya, jumlah cookie Anda makan dalam sehari bisa memiliki dampak langsung pada berat badan seperti yang digambarkan oleh persamaan linier. Namun, jika Anda sedang menganalisis pembagian sel mitosis bawah, persamaan, nonlinier eksponensial akan sesuai dengan data yang lebih baik.

KONSEP DASAR SISTEM LINIER

KONSEP DASAR SISTEM LINIER

Sistem Linear adalah mata kuliah lanjutan dari Matematika Teknik.

Sistem linier memberikan dasar-dasar pengolahan sinyal baik secara digital maupun secara analog. Untuk itu diperlukan pengetahuan dasar tentang sistem dan sinyal (baik diskrit maupun kontinyu). Selain itu juga diberikan hal-hal dasar yang terkait dengan pengolahan sinyal seperti konvolusi dan transformasi sinyal (fourier, laplace, z) serta aplikasinya dalam dunia elektro.Bahan-bahan dan materi dapat di download dibawah ini sesuai dengan pertemuan atau Session kuliah.

Telaah tentang system linier telah merupakan bagian penting dari latihan formal tahap sarjana muda selama bertahun-tahun. Analisis istem linier sangatlah bermanfaat karena, walaupun tak ada system fisika yang pernah linier secara sempurna, namun suatu model linier seringkali memadai untuk menjangkau nilai-nilai masukan-keluaran tertentu. Telah tersedia sejumlah teori matematika yang dapat digunakan para insinyur dan ilmuwan untuk menganalisis system linier. Sebaliknya, analisis system tak linier merupakan ad hoc ( kasus per kasus). Setiap system tak linier harus dipelajari tersendiri, karena terdapat sedikit sekali metode umum untuk menganalisnya.

Analisis system linier sering dilakukan dengn menggunakan sekelompok sinyal masukan tertentu. Jadi adalah wajar untuk menyertakan telaah sinyal dan berbagai penyajiannya dalam mempelajari system linier. Kita telah menjumpai bahwa sinyal-sinyal sinusoidal dan impuls teristimewa bermanfaat sebagai masukan-masukan system.

Selaku insinyur, kita tertarik dalam sintesis, dan juga analisis system. Kenyataannya, sintesis atau desain system merupakan bagian kreatif dalam perekayasaan. Lagipu;a, seperti halnya dalam kebanyakan usaha kreatif, orang harus pertama kali mempelajari mengenai bagaimana menganalisis system sebelum dapat melanjutkan dengan merancang atau mendesain sistem. Usaha yang dilakukan dalam buku ini terutama diarahkan pada analisis suatu kelas system linier tertentu. Namun, karena desain dan analisis sangat erat kaitannya, maka bahan ini juga menyediakan dasar-dasar desain sederhana. Kita dapat membagi anaisis system dalam tiga aspek :

1. Pengembangan model matematis yang cocok bagi persoalan fisika yang dihadapi. Bagian analisis ini berurusan dengan “ persamaan gerak”, syarat batas atau syarat awal, nilai parameter dan lain-lain. Ini merupakan proses gabungan antara penilaian pengalaman, dan eksperimen untuk mengembangkan model yang cocok. Langkah pertama ini adalah yang tersulit dilalui secara formal.

Setelah model yang cocok diperoleh, maka persamaan resultannya dipecahkan untuk memperoleh berbagai pemecahan dalam berbagai bentuk.
Kemudian pemecahan model matematiknya dihubungkan atau ditafsirkan dalam persoalan fisikanya. Tentu saja tafsiran dan perkiraan yang berarti terhadap system fisika hanya dapat dilakukan jika pengembangan pada 1 telah cukup tepat.

KLASIFIKASI SISTEM LINIER

Ada beberapa klasifikasi atau jenis system Linier yaitu :

a. Suatu system sebab-akibat atau kausal (causal) atau tak mendahului menghasilkan keluaran yang pada setiap waktu t_o , hanya merupakan fungsi dari nilai masukan yang ada sampai dengan dan termasuk t_o. Dengan perkataan lain, system tidak memberi tanggapan terhadap nilai masukan sampai masukan tersebut betul-betul dikenakan pada system. Dengan pernyataan seperti ini, jelas bahwa semua system fisika yang nyata termasuk system kausal. Namun, akan kita perlihatkan bahwa system tak kausal dapat diterapkan dalam berbagai penerapan.

b. Keadaan state system merupakan konsep yang mendasar. Keadaan adalah himpunan terkecil variable yang dipilih sedemikian rupa sehingga apabila nilainya diketahui pada t_o dan semua masukan diketahui untuk waktu yang lebih besar dari t_o , maka keluaran system dapat dihitung untuk waktu yang lebih besar dari t_o .

Secara umum, masukan, keadaan, dan keluaran, adalah himpunan variable yang akan kita nyatakan sebagi besaran vector. Sebagai contoh, suatu masukan n-variabel ditulis sebagai :

Kita memekai u,y, dan x masing-masing untuk menyatakan variabel masukan, variabel keluaran, dan variabel keadaan.

Kelinieran sistem ???

Model linier menunjukkan kerja sistem yang akurat, dengan batasan tertentu

Contoh: pada LVDT (Linear variable differential tranducer)

Sinyal masukan yang kecil pada sistem tidak linier dapat dianggap sebagai sistem linier, dengan membatasi daerah kerja untuk mendapatkan respons yang diharapkan.